3D坐標繞軸旋轉公式推導

繞軸旋轉實際上等價于平面點繞遠點旋轉，所以這里只用分析一下平面情況就可以。

問題轉換為：平面上任意點(x,y)繞原點旋轉R度后，新點坐標為多少？

一、通常情況，我們容易想到一下的推導方式（我一開始想到的），請看下圖：

綠色的點為原始點(x,y)，轉過r度后到藍色的點的位置，我一開始想到的是先求出初始點(綠色的點)的初始角度a,然后計算出半徑，根據三角關系可以得到新點的坐標。

關系式:

a=arctan(y/x)
radio=sqrt(x*x+y*y)
新點:x’=radio*Cos(a+r); y’=radio*Sin(a+r)

看起來貌似可以，但是編程處理旋轉問題時發現了嚴重的問題，在求a的時候用了x做分母，所以就限定了x不等于0，這就不好了。

二、直角坐標系求解

思考了一天，不知道如何解決分母的問題，突然回想起來以前學過坐標變換，恍然大悟，汗一個。

還是需要通過幾何關系來進行求解，可以避免定義域不連續的問題，無圖無真相！

注釋：圖中紅色的點為初始點，粉色的為新點，黑色的線為初始坐標系，紅色的線為假想坐標系，黃色的線都是垂線。

在坐標變換中，我們可以換一種思考方式，點的旋轉實際上可以理解為坐標系旋轉到新的位置，然后求到新點相對于老坐標系的坐標即可。
圖中我們很容易得到標注的兩個角度相等，新點的橫坐標X’等于下面尺寸標注的X*Cos(φ)-兩條黃色的垂線間的距離，而這段距離我們可以在紅色的新坐標系中很容易求出distance=Y * Sin(φ),所以很容易就得到了新點的橫坐標

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)          式①

同理，得到

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)          式②

式①和式②就是平面任一點繞原點旋轉的方程。

對于3D坐標中，這便是繞Z軸旋轉的公式

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)

Z’=Z

對于繞其他軸旋轉的公式都可以用此方法得到。

三、

采用三角函數展開將會得到更簡單的求解方法，

X'=Radio*Cos(r+a)
=Radio*(Cos( r)*Cos(a)-Sin( r)*Sin(a))
=Radio*Cos(a)*Cos( r)-Radio*Sin(a)*Sin( r)
=X*Cos( r)-Y*Sin( r)

同理得到

Y’=Radio*Sin(r+a)
=X*Sin( r)+Y*Cos( r)

看來真是要溫故而知新！

坐標旋轉公式

x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;

y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;

其中x，y表示物體相對于旋轉點旋轉angle的角度之前的坐標，x1，y1表示物體旋轉angle后相對于旋轉點的坐標

從數學上來說，此公式可以用來計算某個點繞另外一點旋轉一定角度后的坐標，例如：A（x，y）繞B（a，b)旋轉β度后的位置為C（c，d），則x，y，a，b，β，c，d有如下關系式：

1。設A點旋轉前的角度為δ，則旋轉(逆時針)到C點后角度為δ+β

2。求A，B兩點的距離：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3。求C，B兩點的距離：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4。顯然dist1=dist2，設dist1=r所以：

r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

5。由三角函數兩角和差公式知：

sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)

cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)

所以得出：

c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)

d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋轉后的坐標c，d只與旋轉前的坐標x，y及旋轉的角度β有關

從圖中可以很容易理解出A點旋轉后的C點總是在圓周上運動，圓周的半徑為|AB|，利用這點就可以使物體繞圓周運動，即旋轉物體。

上面公式是相對于B點坐標來的，也就是假如B點位（0,0）可以這么做。現在給出可以適合任意情況的公式：

x0 = dx * cos(β) - dy * sin(β)

y0 = dy * cos(β) + dx * sin(β)

參數解釋：

x0,y0是旋轉后相對于中心點的坐標，也就是原點的坐標，但不是之前點旋轉后的實際坐標，還要計算一步，

β旋轉角度，可以是順時針或者逆時針。

dx是旋轉前的x坐標-旋轉后的x坐標

dy是旋轉前的y坐標-旋轉后的y坐標

x1=a+x0;

y1=b+y0;

上面才是旋轉后的實際坐標，其中a，b是原點坐標

下面是上面圖的公式解答：

x0=(x-a)*cos(β)-(y-b)*sin(β);

y0=(y-b)*cos(β)+(x-a)*sin(β);

x1=x0+a;

y1=y0+b;